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Théorie des Ensembles

Responsable : S. Todorcevic et B. Velickovic
Membres permanents : Ramez Labib-Sami, Jordi Lopez Abad, Stevo Todorcevic, Boban Velickovic.
Autres docteurs : Antonio Aviles Lopez, Matteo Viale.
Doctorants : Christina Brech, Christophe Chalons, Karim Er-Rhaimini, Philippe Meynard, Lionel Nguyen Van Thé, Luis Pereira, Victor Manuel Torres-Pérez, Philippe Meynard.

         On peut distinguer deux parties principales de la théorie des ensembles moderne : la théorie descriptive et la théorie des ensembles combinatoire. En théorie descriptive, on étudie les ensembles de réels ou plus généralement les sous-ensembles d'un espace polonais du point de vue de leur définissabilité et complexité. Ce sujet est étroitement lié à l'étude de la détermination des jeux infinis et aux grands cardinaux, l'un des sujets les plus actifs actuellement. La théorie combinatoire des ensembles étudie les propriétés des ensembles du point de vue de leur taille, c'est à dire leur cardinalité. Les thèmes principaux ici sont : les propriétés de partitions (c'est à dire la théorie de Ramsey), l'arithmétique des cardinaux, les langages infinis et les grands cardinaux. Les sujets étudiés par les membres de l'équipe sont les suivants : la classification des structures dénombrables et relations d'équivalence définissables, la classification des structures non dénombrables et la réduction de Tukey, la théorie de Ramsey en dimension infinie et la hiérarchie de Wadge.

I. CLASSIFICATION DES STRUCTURES DÉNOMBRABLES ET LES RELATIONS D'ÉQUIVALENCE DÉFINISSABLES

         Étant donnée une classe K de structures dénombrables, H. Friedman et L. Stanley ont proposé d'utiliser les méthodes de la théorie descriptive pour étudier les invariants que l'on pourrait utiliser pour classifier les éléments de K à isomorphisme près. Cette démarche est particulièrement fructueuse quand K est la classe des structures vérifiant un certain énoncé σ de Lω1 . On se ramène donc à étudier la relation d'isomorphisme sur la classe K des modèles de σ. Plus généralement, pour une action continue α d'un groupe polonais G sur un espace polonais X on peut étudier la relation d'équivalence d'orbites Eα sur X induite par α. Dans le cas précèdent le groupe est S(ω), agissant sur les modèles de σ de façon naturelle.
         L'étude des relations d'équivalence ordonnées par la notion naturelle de réductibilité a été particulièrement fructueuse récemment et a donné lieu à des résultats importants de dichotomie comme, par exemple, le théorème de Silver sur les relations d'équivalence co-analytiques et le théorème de Harrington-Kechris-Louveau généralisant la dichotomie classique de Glimm-Effros. Ce sujet a des liens importants avec l'étude des algèbres d'opérateurs, la représentation des groupes, et la théorie ergodique.

II. CLASSIFICATION DES STRUCTURES NON DÉNOMBRABLES
         Pour une classe K de structures non dénombrables, on cherche une liste finie (ou dénombrable) d'objets minimaux de K dans un sens précis ou de propriétés (c'est à dire de sous-classes) de K canoniques qui recouvrent K. Un exemple du premier type de questions est la conjecture de Shelah qui dit qu'il existe 5 ordres totaux non dénombrables tels que tout ordre total non dénombrable contient une copie de l'un de ces 5 ordres. Un exemple du dernier type de questions est la condition des chaînes dénombrables (CCD) et ses variations comme les conditions de Knaster, Shanin, Kelley (concernant l'existence de mesures finiment additives) et autres. Ces sujets nécessitent une étude approfondie des propriétés des partitions (théorie de Ramsey de structures non dénombrables) et on obtient souvent des résultats de cohérence relative en utilisant la méthode de forcing.

III. THÉORIE DE RAMSEY EN DIMENSION INFINIE

         Le théorème de Ramsey est un résultat combinatoire classique qui dit que pour tout coloriage des n-uplets d'entiers en un nombre fini de couleurs il existe un ensemble infini homogène. Ce résultat s'est avéré extrêmement important et utile dans plusieurs domaines de mathématiques. Dans les années 1970, Galvin et Prikry ont donné une généralisation de ce résultat en dimension infinie. Les résultats de type Galvin-Prikry ont été utilisés en analyse (par exemple: la classification de Rosenthal des espaces contenant l1, le théorème de Bourgain-Fremlin-Talagrand, etc.). Récemment, Gowers a utilisé ces techniques pour résoudre un nombre important de problèmes ouverts en géométrie des espaces de Banach. Il s'agit ici des résultats de partitions « structurels », c'est à dire qu'on considère les coloriages des sous-structures d'un certain type d'une structure de dimension infinie et on cherche des sous-structures homogènes de dimension infinie.

IV. PROJETS DE RECHERCHE

         - Étudier les relations d'équivalence borélienne dénombrables. Adams et Kechris ont récemment démontré que cette classe est extrêmement riche en y plongeant la famille des boréliens de [0, 1] ordonnée par inclusion.
         - Étudier certaines relations d'équivalence naturelles, notamment l'isomorphisme sur des classes de structures comme, par exemple, les groupes abéliens de rang fini, les groupes simples localement finis, etc.
         - Trouver des relations binaires « critiques » ; démontrer des résultats de dichotomie, trichotomie, etc.
         - Trouver des exemples naturels de relations binaires importantes en analyse, théorie de la mesure, etc.
         - Axiomatiser la Théorie de Ramsey en dimension infinie et développer la théorie paramétrisée correspondante : on paramétrise un résultat de type Galvin-Prikry (et donc on le renforce considérablement) au moyen d'ensembles parfaits de réels de type donné (par exemple, des produits infinis d'ensemble finis de taille fixée).



Pour plus de détails sur nos activités et notre recherche, on pourra consulter la description donnée dans le rapport d'équipe portant sur la période 2007-2009.