UNIVERSITE DE PARIS VII, UFR DE MATHEMATIQUES
*** Groupes: Propriétés algébriques et équivalence élémentaire ***

Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les lundis ouvrables: salle 0D9, à 11h15 (175-179 rue du Chevaleret, Paris 13ème)
Pour recevoir le programme par email : point_at_logique.jussieu.fr

Année 06 - 07Liste des exposés précédents et résumés

Lundi 30 octobre : Alexey Muranov (Lyon I) Small-cancellation approach to constructing boundedly generated, simple, and boundedly simple groups

A group is $n$-boundedly generated if it is the product of $n$ cyclic subgroups. All polycyclic groups and some other linear groups are boundedly generated. It is not obvious that non-linear boundedly generated groups exist. The following examples are found using methods of small cancellations'':

• 1. An infinite simple boundedly-generated group (in particular, neither linear, nor residually finite).
• 2. A torsion-free group $G$ such that:
a) $G$ has elements $a_1$, \dots, $a_n$ such that every element of $G$ has a unique presentation in the form $a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}$,
b) $G$ has free non-cyclic subgroups (in particular, is neither polycyclic, nor virtually polycyclic).
• A group is $n$-boundedly simple if for every two nontrivial elements $g$ and $h$, $g$ is the product of at most $n$ conjugates of $h^{\pm1}$. This is a first-order property. Bounded simplicity implies simplicity.

The commutator width of a group $G$ is the maximum of the commutator lengths of elements of its derived subgroup $[G,G]$, and the commutator length of an element $g in [G,G]$ is the minimal number of commutators sufficient to express $g$ as their product.

Until 1991, to the best of my knowledge, no simple groups were know to have commutator width greater than $1$. As shown by Jean Barge and Étienne Ghys in 1991, there exist (infinitely generated) simple groups of surface diffeomorphisms for which the commutator width is infinite.

Finitely generated infinite simple groups of infinite commutator width, as well as boundedly simple groups of large finite commutator width, can be constructed using the small-cancellation theory.

Lundi 20 novembre : Paul Baginsky (Berkeley) Stable, Aleph_0-Categorical Rings

In the study of stable, aleph_0-categorical algebraic structures, it was shown independently by Felgner in 1978 and by Baur, Cherlin and Macintyre in 1979 that a stable, aleph_0-categorical group is nilpotent by finite. In this talk, we answer the analogous question for rings. We will prove that a stable, aleph_0-categorical ring is nilpotent by finite. Despite the same terminology, the notion of nilpotence for rings is much different than nilpotence for groups. A ring is nilpotent if there is an integer n such that the product of any n elements is zero.

The proof of this theorem was sketched by Frank Wagner and the details have been worked out by Thomas Scanlon and myself. Our ring is not assumed to be commutative and does not need to have a multiplicative identity.

Lundi 4 décembre Salle 0D1 : Abderrezak Ould Houcine (Lyon I) Sur les groupes superstables ayant des propriétés résiduelles

Soit C une pseudovariété. Je démontrerai qu'un groupe G superstable et résiduellement-C a une série finie G_0 \leq ... \leq G_n=G telle que G_0 est résoluble et chaque quotient G_i/G_{i+1} est dans C, et si G est ω-stable on peut prendre G_0 nilpotent. En particulier un groupe superstable et résiduellement fini est résoluble-par-fini, et s'il est ω-stable alors il est nilpotent-par-fini.

Lundi 8 janvier: Tuna Altinel (Lyon 1) Groupes de rang de Morley fini, groupes algébriques : quelques analogies

L'activité centrale dans la théorie des groupes de rang de Morley fini a été de démontrer des théorèmes d'isomorphisme. Plus précisement, des classes de groupes simples et infinis de rang de Morley fini ont été étudiées, et ces études ont abouti soit à des théorèmes d'isomorphisme à des classes de groupes algébriques, soit à des configurations contradictoires, soit à des configurations dures pour lesquelles une réponse précise n'a pas été trouvée.

Depuis quelques années, des théorèmes d'un autre type ont été obtenus. Ceux-ci soulignent plutot les analogies structurelles entre les groupes de rang de Morley fini et les groupes algébriques sans pour autant aboutir à des conclusions d'isomorphisme. J'exposerai un résultat de ce type sur les centralisateurs des tores dans les groupes simples et minimaux de rang de Morley fini. Je parlerai des motivations pour un tel résultat et je donnerai une application. C'est un travail en commun avec Jeffrey Burdges.

Lundis 19 et 26 février : Sonia l'Innocente (Camerino, Mons) On pseudo-finite dimensional representations of sl_2(K)

Lundi 5 mars : Gabriel Sabbagh (Paris 7) : Problème des mots et Groupes d'automorphismes de modèles

On montre que toute théorie du premier ordre ayant un modèle infini admet un modèle dont le groupe des automorphismes a une théorie (existentielle) indécidable. Cela résoud le problème 12.14 du recueil de Kourovka. La démonstration commence par l'existence d'un groupe de présentation finie (totalement) ordonnable à gauche ayant un probleme des mots indécidable et entraine que le groupe des automorphismes de l'ensemble ordonné (Q,<) a une théorie existentielle indécidable. L'exposé est accessible à tout étudiant ayant quelques connaissances de théorie des modèles (mais s'il y a des mathématiciens dans l'auditoire qui viennent d'autres secteurs on s'arrangera pour qu'ils saisissent l'essentiel) (travail en commun avec V.V.Bludov, M.Giraudet, A.M.W.Glass).

Lundi 23 avril : Thomas Kucera (U. Manitoba) Elementary socles and radicals

Socles and radicals are important tools in studying the structure of modules and rings. The socle of a module is the sum of all of its simple (minimal)submodules; dually the radical of a module is the intersection of all of its maximal submodules. Ivo Herzog introduced model-theoretic analogues of these concepts by replacing "submodule" by "definable subgroup".

If an indecomposble module has the descending chain condition on definable subgroups, the elementary socle is non trivial and is a definably closed submodule. Furthermore, the definition of elementary socle naturally extends to an ascending series of definably closed submodules whose union is the whole module. Dually, if an indecomposable module is pure-injective and has the ascending chain condition on definable subgroups, the elementary radical is a submodule, and the definition of the elementary radical may be extended to a descending series of submodules whose intersection is 0.

The definitions and some of the properties generalize in natural ways to arbitrary (indecomposable) pure-injective modules.

Mike Prest introduced a notion of duality between certain first order formulas in the languages of left modules and right modules which Herzog extended to a duality of categories. This duality makes pure-injective modules of the kind described above correspond; and their internal structure is shown to be similar by means of this duality.

The elementary socle series has had limited application in describing the structure of certain indecomposable injective modules; however serious applications await a deeper understanding of the general properties of these series in general.

Lundi 7 mai : Zoé Chatzidakis (CNRS - Paris 7) Groupes exotiques et paires de corps séparablement clos

Dans les livres de Tits-Weiss et de Timmesfeld apparaissent des groupes exotiques, construits à partir de paires de corps de caractéristique 2, le petit corps contenant les carrés du grand. On peut alors montrer que la théorie d'un tel groupe est bi-interprétable avec la théorie de la paire associée. Cherlin a posé la question suivante : si l'on suppose de plus que les corps sont séparablement clos, que se passe-t-il ? La théorie est-elle stable ?

La réponse est positive, et découle d'une élimination des quantificateurs dans le langage des paires augmenté par les fonctions lambda pour chaque corps. Ce résultat est montré en toute caractéristique. Je discuterai aussi de quelques généralisations, et des problèmes éventuels.

Lundi 14 mai : Marcin Petrykowski (Lyon I) Weak generic types

Assume G is a definable group in some first order structure M. A subset of G is generic if some finitely many of its left translates cover G. We call a set A\subseteq G weak generic if there exist a generic set B and a non-generic set C such that A=B\setminus C. Finally, a type p(x) of elements of G is weak generic if every formula from p(x) defines a weak generic subset of G.

In a stable group genericity and weak genericity of a definable set are equivalent and the structure of (weak) generic types is known. Therefore we examine unstable groups (definable in o-minimal structures). We characterize weak generic types in some of these groups and describe their properties.

Lundi 21 mai : Olivier Frécon (Poitiers) Groupes sous-ordinaires de rang de Morley fini.

L'étude des groupes ordinaires a été fondamentale pour le développement de la théorie des groupes de rang de Morley fini. En effet plusieurs des théorèmes cruciaux concernant la conjecture de Cherlin-Zil'ber ont d'abord été prouvés pour les groupes ordinaires avant de trouver une version plus générale. Cependant, cette hypothèse ne peut être d'aucune utilité pour trouver un "squelette de preuve" pour un théorème de Feit-Thompson pour les groupes de rang de Morley fini, puisque tout groupe connexe non nilpotent et ordinaire possède une involution. Aussi, on sait désormais qu'il existe des groupes de rang de Morley fini non ordinaires, selon une construction de A. Baudisch, M. Hils , A. Martin-Pizarro et F.O. Wagner.

Dans cet exposé, je proposerai une hypothèse considérablement affaiblie de l'ordinarité : la sous-ordinarité. A partir de l'étude des pseudo-tores, je décrirai la structure des sous-groupes de Borel des groupes simples connexes minimaux sous-ordinaires.

Lundi 18 juin : Thomas Scanlon (Orsay et Berkeley) Arcs and jets.

Lundi 2 juillet : Ozlem Beyarslan (Paris 7) Automorphism Groups of Some Pseudofinite Fields

Let F be a pseudofinite field, i.e. an infinite model of the theory of finite fields. For any topological generator \sigma of Gal(F^a/F), it is clear that F = Fix(\sigma). The pseudofinite field F, regarded as a substructure of is richer than if regarded only as a pure field structure. We let T_\sigma denote the theory of this richer structure.

We will prove that for a model F_{\sigma} of T_{\sigma}, of characteristic different from p there exists A,B substructures of F_\sigma such that Aut(B/A) is cyclic of prime order p, if and only if F_\sigma contains p^n-th roots of unity for every n. Then we extend this result for primes equal to the characteristic of the pseudofinite field.

There is a particularly model-theoretic way to think of the above result for p=2. A tournament on a set X is an irreflexive binary relation R such that for every x different from y in X exactly one of R(x,y) and R(y,x) holds. A pseudofinite field F not containing square root of -1 (not containing primitive 4th roots of unity) interprets a tournament by the formula: (\exists z) (z^2 = x-y). The automorphism group of any field interpreting a 0-definable tournament can not have any involutions. We will reproduce these type of construction for the odd primes. This is joint work with Ehud Hrushovski.