UNIVERSITE DE PARIS VII, UFR DE MATHEMATIQUES
*** Théorie des Modèles et Groupes ***

Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 11h00, salle 2018, Bâtiment Sophie Germain.
Pour recevoir le programme par email : oger_at_logique.jussieu.fr


Année 2013 - 2014
Liste des exposés précédents et résumés

Mardi 24 septembre à 11h15 : Gönenç Onay (Mimar Sinan, Istamboul), Corps valués aux différences.

Un corps valué aux différences est un corps valué muni d'un automorphisme qui préserve l'anneau de valuation. On présentera une théorie, comme celle des corps valués henséliens en charactéristique (0,0), admettant l'élimination des quantificateurs relativement à la sorte RV (celle-ci sera définie durant l'exposé). Si le temps permet j'expliciterai une application aux corps de transséries et j'essaierai d'expliciter certains techniques qui peuvent eventuellement permettre d'adapter l'approche “tropicale” pour la recherche ultérieure.


Mardi 8 octobre : Martin Hils (Paris 7), Mauvais corps avec torsion

Un mauvais corps est un corps K muni d'un sous-groupe Ü propre infini du groupe multiplicatif tel que la structure (K,+,x,Ü) soit de rang de Morley fini.

En caractéristique positive, l'existence de mauvais corps est peu probable par un résultat de Wagner. En revanche, il y a quelques années, en collaboration avec Baudisch, Martin-Pizarro et Wagner, j'ai construit un mauvais corps de caractéristique 0, par la méthode des amalgames de Hrushovski. Dans le mauvais corps obtenu, Ü est divisible sans torsion.

Dans l'exposé, j'expliquerai comment on peut construire un mauvais corps en caractéristique 0 tel que Ü soit divisible et contienne un sous-groupe divisible préscrit de racines de l'unité.

Travail en commun avec Juan-Diego Caycedo.


Mardi 22 octobre : Samaria Montenegro (Paris 7), Quelques propriétés modèle-théoriques de corps pseudo réels clos.

La théorie PRC (et n-PRC) a été largement étudiée par L. van den Dries, A. Prestel, M. Jarden, S. Basarab, D. Haran, et autres. Dans la première partie de cet exposé, on donnera un petit aperçu des principaux résultats de la théorie des modèles des corps PRC.
Soit K un corps muni de n ordres distincts P_1, ... ,P_n. Alors (K, P_1, ... , P_n) est un corps n-PRC si et seulement si toute variété absolument irréductible définie sur K qui a un point simple dans toute clôture réelle de K, a un point rationnel dans K. La théorie n-PRC n'est pas NIP. Le théorème principal de cet exposé est une réponse positive à la conjecture de A. Chernikov, I. Kaplan et P. Simon qui dit: Un corps PRC est NTP_2 si et seulement si il est borné. Après l'introduction de la propriété NTP_2, on donnera une esquisse de la preuve.


Mardi 29 octobre : Marcello Mamino (Polytechnique), Groups interpretable in two orthogonal sorts.

We will investigate the following question. Given a two sorted structure (Z,R) with two sorts Z and R which is simply the disjoint union of a structure Z and a structure R (i.e. there is no function and no relation in the language connecting the two structures). Can groups interpretable in (Z,R) be analyzed in terms of groups interpretable in Z and R separately? We will present motivating examples and results for either Z superstable of U-rank 1 or R o-minimal.


Mardi 29 octobre à 14h15 salle 1016 : Omar Leon-Sanchez (McMaster), A conjecture on isolated types in DCF_0

Consider the complex field with its standard derivative (C,d/dz), and suppose p is a finite rank type in DCF_0 over C. Is isolation of p equivalent to weak orthogonality to the constants? We will discuss this (open) question and some equivalences.


Mardi 5 novembre : Benjamin Druart (Grenoble/Lyon I), Sous-groupes de Cartan de SL_2(Q_p) et générosité

La notion de sous-groupes de Cartan est issue de l'étude des groupes algébriques. Elle a été très utilisées pour l'étude des groupes de rang de Morley fini. En 2011, E. Jaligot, E. Baro et M. Otero ont étudié les sous-groupes de Cartan dans le cadre des groupes définissables dans les structures o-minimales. Ils ont démontré que chaque groupe définissable possède un nombre fini de sous-groupes de Cartan conjugaison près, et qu'ils sont définissables. Dans cet exposé nous regarderons ce qu'il en est pour SL_2(Q_p). Après avoir décrit les sous-groupes de Cartan de SL_2(Q_p), nous les caractériserons conjugaison près l'aide de la trace. Enfin nous montrerons qu'un seul de ces sous-groupes est généreux (généralisant ainsi un résultat connu pour SL_2(R)).


Mardi 12 novembre : Marcin Sabok (Paris 7), Automatic continuity for isometry groups

I will discuss a recent result saying that the group of isometries of the Urysohn space has the automatic continuity property, i.e. any (algebraic) homomorphism from this group into a separable topological group must be continuous. The arguments use model theory for metric structures and give a general (model-theoretic) framework for this kind of results. In particular, it captures some known cases, e.g. that for the unitary group (due to Tsankov).


Mardi 26 novembre : Cédric Milliet (Konstanz), Sur les groupes sans propriété d'indépendance

soit un groupe G et f(x,y) une formule dans le pur langage des groupes. f(x,y) a la propriété d'indépendence dans G si pour tout entier naturel n, l'on peut trouver des éléments a1, a2, ..., an et (bJ) pour J inclus dans n+1 tels que f(ai,bJ) soit valide si et seulement si i appartient à J. Le groupe G est “sans propriété d'indépendance” si aucune formule n'a la propriété d'indépendance dans G. Ces groupes incluent les groupes stables. Je parlerai de résultats récents de Shelah et Aldama concernant les enveloppes définissables des sous-groupes abéliens ou nilpotents d'un groupe sans propriété d'indépendance et m'intéresserai à la question suivante: un sous-groupe résoluble S de G est-il contenu dans un sous-groupe définissable résoluble de G ?


Mardi 26 novembre à 14h15 salle 1016 : Bruno Poizat (Lyon I), Supergénérix.

Etant donné un sous-groupe G d'un groupe stable (au sens modèle-théorique) Γ, nous étudions les propriétés des traces sur G des sous-ensembles définissables de Γ. Nous considérons particulièrement le cas où Γ est un groupe de rang de Morley fini. Un exemple de cette situation est fourni par les groupes linéaires : pour un certain n, G est un sous-groupe de GLn(K), où K est un corps qu'on peut supposer algébriquement clos ; les ensembles définissables au sens de GLn(K) sont alors ses parties constructibles, c'est-à-dire les combinaisons booléennes d'un nombre fini de ses fermés de Zariski.


Mardi 3 décembre : Artem Chernikov (Paris 7), Fields with NTP2

NTP2 is a large class of first-order theories introduced by Shelah and generalizing both simple and NIP theories. It provides a natural setting for the theory of forking beyond simplicity, and also contains new important algebraic examples: ultraproducts of p-adics, bounded pseudo real closed fields and certain valued difference fields. But what can be said about groups and fields definable in NTP2 structures? One result is that every field definable in an NTP2 structure has only finitely many Artin-Schreier extensions. In this talk I will give a survey of the area (concentrating on some of my work with Martin Hils, Itay Kaplan and Pierre Simon) and describe some open question and directions.


Mardi 10 décembre : Thomas Blossier (Lyon I), De beaux groupes

Dans un travail avec Amador Martin Pizarro, nous donnons une description des groupes interprétables dans une paire (K,E) d'extensions propres de corps algébriquement clos. Nous montrons qu'un groupe connexe définissable dans la paire se plonge modulo un noyau fini dans un groupe algébrique et que son image quotientée par un sous-groupe algébrique est isomorphe au sous-groupe des points E-rationnels d'un groupe algébrique. La théorie des (belles) paires de corps algébriquement clos n'élimine pas les imaginaires, mais la description des imaginaires donnée par Pillay, nous permet de caractériser également les groupes interprétables.


Mardi 17 décembre : Silvain Rideau (ENS), Les corps valués analytiques de différence

Parmi les différentes structures de corps valués enrichis pour lesquelles des résultats du type Ax-Kochen-Ersov ont été étendus, on trouve deux tendances majeures: d'une part rajouter de la structure analytique (comme l'ont fait van den Dries, Denef, Lipshitz, Robinson, Cluckers...) et d'autre part rajouter une différence ou une différentielle (tout d'abord Scanlon mais ensuite aussi Bélair, Macintyre, Hrushovski, Azgin...). Le but de mon exposé sera d'expliquer comment on peut rassembler ces deux approches pour étudier des corps valués munis à la fois d'une structure analytique et d'une isométrie et prouver des résultats du type Ax-Kochen-Ersov, par le biais d'un résultat d'élimination des quantificateurs.
Ces résultats permettent, entre autres, de décrire la théorie des vecteurs de Witt sur la clôture algébrique de F_p munie de sa structure analytique naturelle et du relèvement du Frobenius et de montrer qu'elle est NIP.


Mardi 7 janvier 2014 : Francis Oger (Paris 7), Partitions inamicales de graphes

Ici, un graphe est une paire G=(V,E), où V est l'ensemble des sommets et E l'ensemble des arêtes, qui sont des paires non orientées de sommets. Une partition de G est une application p de V vers {0,1}. Pour tout sommet x, on dit qu'un sommet y est un ami (resp. un opposant) de x si {x,y} est une arête et si p(y)=p(x) (resp. p(y) différent de p(x)). On dit que p est inamicale si tout sommet a au moins autant d'opposants que d'amis.
Nous présenterons le problème suivant, qui a été laissé ouvert par un travail de S. Shelah et Al : Un graphe dénombrable admet-il nécessairement une partition inamicale ?


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