Applications bilinéaires, applications linéaires associées, espace dual, représentation matricielle, changement de base, orthogonalité, formes non dégénérées, definies, formes quadratiques, forme polaire, diagonalisation (Gauss), signature, plan artinien, plan projectif, division harmonique, coniques, poles et polaires, produits scalaires, espaces euclidiens, matrices orthogonales, endomorphisme adjoint, endomorphismes normaux, auto-adjoints et isométries, groupe orthogonal, théorèmes de Fregier et de Pascal.

Feuilles d'exercices conçues pour le premier semestre de L2 (analyse et algèbre).

Permutations, nombre d'inversions, signature d'une permutation, transpositions, espace dual, application transposée, base duale, rang de la transposée, mesure de volume (forme multilinéaire alternée), déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, mineur, cofacteur, développement par rapport aux lignes et aux colonnes, application au calcul du rang d'une matrice, formule de la comatrice, déterminant de Van der Monde.

Ce très court texte contient une démonstration élémentaire et aussi peu calculatoire que possible du théorème de Cayley-Hamilton.

Un polynôme doit-il se noter P ou P(X) ? Réponse dans ce texte.

Comment utiliser les quaternions pour déterminer l'axe et l'angle d'un produit de deux rotations d'axes non colinéaires dans l'espace à trois dimensions.

Comment faire des slides à overlays en LaTeX sans utiliser de package spécialisé et sans faire de couper-coller. Une méthode simple et souple.

Exposé fait au séminaire général de logique en mai 2011. Il s'agit d'un exposé assez informel. Il contient des références sur des documents plus précis.

Il s'agit du problème d'examen d'un cours de Maîtrise (ancêtre du Master 1) que j'ai donné à l'université de Nantes au début des années 80. On y introduit un langage combinatoire (c'est-à-dire sans variable) qui permet de représenter toutes les fonctions primitivement récursives et une machine à pile. L'objet du problème est de montrer que le résultat des calculs par la machine est conforme à la sémantique du langage. Le langage présenté ici est assez simple pour que la preuve du fait que le compilateur est correct puisse se faire lors d'un examen de 4 heures. Pour un langage ``réel'', donc nettement plus complexe, la chose est évidemment beaucoup moins simple. Toutefois, ce problème d'examen peut servir d'``échauffement'' pour une telle entreprise au moins quand à la méthode à utiliser, c'est-à-dire essentiellement des raisonnements par induction, pas difficiles par eux-mêmes, mais parfois un peu fastidieux à cause du nombre de cas à traiter.

Cours de logique catégorique donné en 2008, 2009 et 2010 dans le Master 2 ``Logique mathématique et Fondements de l'Informatique''. Ce cours introduit les notions essentielles de théorie des catégories (problèmes universels, classifiants, foncteurs adjoints, monades,...) et expose les bases de la théorie des topos élémentaires, en particulier le langage interne, la sémantique de Kripke-Joyal, les topos de préfaisceaux d'ensembles, les topologies de Grothendieck et de Lawvere-Tierney, et les topos de faisceaux. Contient plus de 300 exercices dont certains sont corrigés.

Le preprint d'un article publié dans les Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques en 1992. Il contient mes (à peu près) premières réflexions autour de la question de l'indiscernabilité des preuves, dont il n'est d'ailleurs pas question dans cet article, puisqu'à cette époque, je n'avais pas encore connaissance de ce principe. Aujourd'hui, je ne soutiens plus le point de vue développé dans ce texte. Toutefois, il contient des choses qui peuvent intéresser, comme par exemple une preuve formelle du théorème de Diaconescu, et il est probablement la première publication où se trouve démontré le fait que ce théorème ne peut pas être prouvé dans le système de Martin-Löf.

Ce texte, établi en collaboration avec l'un de mes étudiants, présente une démonstration élémentaire du fait que le principe du tiers exclu ne résulte pas des principes structurels (intuitionnistes) de démonstration.

Un exposé fait en mai 2008 sur le raisonnement par l'absurde. Sans entrer dans les détails techniques, on apprend en quoi consistent les mathématiques ``structurelles'' (également appelées ``intuitionnistes'') et ce qu'est le constructivisme. On explique la différence de comportement entre connecteurs additifs et connecteurs multiplicatifs. Enfin, on explore le principe de la double négation et du raisonnement par l'absurde et on distingue deux sortes de tels raisonnements dont l'une est constructive et l'autre pas.

Mémoire de Master 2 réalisé par M. Cadet sous ma direction. Dans ce mémoire, la traduction précise entre le langage interne d'un topos relatif T/X (où X est un objet de T) et le langage natif du topos T est explicitée. Dans une seconde partie, cet traduction est exploitée pour interpréter le langage W, qui est une variante ``à types dépendants'' du langage interne des topos.

On axiomatise la structure de topos élémentaire sans la notion de monomorphisme. Dans la conclusion, on explique en quoi cette axiomatisation éclaire l'usage de certaines phrases dans le langage mathématique ordinaire. Ce texte constitue par ailleurs une introduction condensée à la structure de topos élémentaire et à la sémantique de Kripke-Joyal pour ceux qui connaissent déjà un peu les catégories.

Un exposé ``self-contained'' fait au séminaire ``Catégories et Physique'' en avril 2008, dans lequel les topos élémentaires sont présentés en utilisant la seule notion de classifiant d'un foncteur.

On axiomatise la notion d'ensemble des entiers naturels à l'aide du principe de récursion simple (inspiré par les travaux de W. Lawvere), on en déduit le principe de récursion primitive, et les axiomes de Peano (dont le principe usuel du raisonnement par récurrence). On développe l'arithmétique dans N, à partir de cette définition (addition, multiplication, division euclidienne,...). Application aux ensembles finis et aux cardinaux. On démontre aussi l'axiome des choix dépendants à partir de l'axiome général du choix, et du principe de récursion simple.

Dans cet article écrit en collaboration avec mon étudiant Matthieu Herrmann, nous donnons une explication des conjonctions 'E et F' et implications 'E implique F', dans lesquelles l'énoncé F n'est correctement formulé que quand E est vrai. Cette situation est très courante en mathématiques, même élémentaires. L'idée est que ces opérations jouent par rapport à la notion de supposition le même rôle que les quantificateurs par rapport à celle de déclaration. Nous expliquons également, et c'est là notre principale motivation, le lien entre ce phénomène, deux principes fondamentaux des mathématiques, et le langage vernaculaire des mathématiques.

Contemporary mathematics is a cultural phenomenon that is the result of a long lasting evolution over centuries in pretty much the same way as species have evolved according to Charles Darwin's theory. In other words, our mathematics is the result of a natural selection of those concepts that appeared to be the best suited for the purpose of thinking abstractly. As a consequence, the structure of this game that we call mathematics is not immediately perceptible, its fundamental mecanisms remain essentially hidden, and it is just a fact that most mathematicians are not conscious of them even if they actually put them at work every day. This text is not a piece of philosophy. It is the result of several decades of research around the idea of applying elementary topos theory to the design of a proof assistant, in other words to the design of a computer program able to understand mathematics at least from a formal point of view. Consequently, my approach is pragmatic and the goal of implementing these mecanisms always kept in mind.

Exposé fait au séminaire Keller-Maltsiniotis sur la démonstration de Miles Tierney de l'indépendance de l'hypothèse du continu dans le cadre de la théorie des topos.

Les problèmes de partiels et d'examens donnés pendant les trois années de mon cours de logique catégorique (avec solutions).

Contient une démonstration des théorèmes de Zorn et de Zermelo, et de quelques unes de leurs conséquences les plus utilisées en algèbre et en topologie générale.

J'explore la question de savoir en quoi consiste un exercice de mathématiques, et comment en faire la correction de manière automatique dans le cadre d'un MOOC.

Ensemble de slides utilisé lors d'un cours sur les topos pour montrer que toute catégorie de préfaisceaux d'ensembles sur une petite catégorie est un topos.

Dans cet exposé fait à Luminy en mai 2007, est essentiellement discutée la notion d'indiscernabilité des preuves. Des arguments sont donnés en faveur de ce principe, aussi bien provenant de l'analyse du comportement des mathématiciens, que d'une modélisation des mathématiques dans les topos. On y parle également du système de types de Martin-Löf et de ses rapports avec le théorème de Diaconescu. Le caractère partiellement constructif de l'axiome du choix est aussi discuté.

Ce texte est la partie principale de ma thèse d'état soutenue en 1986. C'est une étude de l'homologie des fibrations principales de fibre K(Z/p,n), utilisant les notions de A-infini algèbres et coalgèbres. On y trouvera une présentation de la méthode des petites constructions de Cartan pour le calcul de l'holomogie de K(Z/p,n), une théorie homotopique des cochaînes de Brown, une construction des modèles minimaux de Baues-Lemaire et Kadeishvili, et les premiers pas d'une identification des petites constructions de Cartan à des A-infini produits tensoriels tordus.

Dans cet article écrit en collaboration avec mon étudiant F. Morace, on construit une cochaîne de Brown (cochaine tordante) qui commute avec la transformation d'Eilenberg-Mac Lane.

Notes de cours.

Ce texte écrit en collaboration avec Yves Lafont est une introduction à la réécriture dans les monoïdes et à l'homologie des monoïdes. On y démontre le théorème de Squier, qui énonce que le rang du troisième groupe d'homologie d'un monoïde minore le nombre de paires critiques dans n'importe quelle présentation du monoïde par un système de réécriture confluent et noethérien.

Dans cette note aux C.R.A.S. on montre qu'une variété plate (non riemannienne; la connexion peut donc avoir de la torsion) compacte sans bord dont le groupe fondamental est résoluble a une caractéristique d'Euler nulle.

Fibrés localement triviaux, fibrés induits et invariance homotopique, grassmannienne et fibrés universels, application de Gauss, théorème de Leray-Hirsch, classe de Thom, classe d'Euler, suite de Gysin, algèbre de cohomologie de l'espace projectif, le fibré projectif associé, le principe de scindement, algèbre de cohomologie de la grassmannienne infinie, classes caractéristiques.

Cours de Topologie Algébrique donné au printemps 2012 dans le Master 1 de mathématiques de Paris-Diderot. Ce cours traite de quelques questions de théorie des catégories, de groupoïdes fondamentaux, de revêtements, d'homologie et de cohomologie singulières.

Ce court texte à visée pédagogique introduit la cohomologie d'Alexander en insistant sur les aspects intuitifs. Il contient une démonstration du fait que cette théorie satisfait les axiomes d'Eilenberg-Steenrod.

Les problèmes de topologie algébrique donnés aux examens de mes cours du Master 1 des années 2012 à 2015. (14 problèmes avec solutions)

Dans cette note aux C.R.A.S. on caractérise la diagonale d'Alexander-Whitney par une propriété de son image. Ceci permet de prouver sans calcul que la transformation d'Eilenberg-Mac Lane est un morphisme de coalgèbres.

Cette note aux C.R.A.S. caractérise la transformation naturelle d'Eilenberg-Mac Lane d'une manière très simple, ce qui permet d'établir très facilement ses principales propriétés, et donc d'éviter les nombreuses pages de calculs qu'on trouve habituellement concernant cette transformation.

Notes de cours.

Dans cette note aux C.R.A.S. il est montré que même si la coalgèbre d'homologie (à coefficients dans un corps) d'un espace X est quasi-isomorphe à la coalgèbre des chaînes singulières de X, il se peut que la cobar-construction sur cette homologie, vue comme une coalgèbre avec le shuffle-coproduit, ne soit pas quasi-isomorphe à la coalgèbre des cochaînes de l'espace des lacets de X.

Dérivée d'une fonction définie sur un ouvert de Rⁿ. Exemples. Dérivation des fonctions composées. Matrice jacobienne. Dérivées partielles. Théorème de la moyenne. Convergence des dérivées d'une suite de fonctions. Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Taylor. Théorème de Schwarz. Extrémas des fonctions deux fois dérivables. Difféomorphismes et théorème d'inversion locale.

Définition, solutions, différentiabilité des solutions, systèmes différentiels, équations autonomes, équations d'ordre supérieur, conditions initiales et solutions non prolongeables, interprétation géométrique, démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz, exemples tirés de la physique, méthodes de résolution, comparaison des solutions, caractérisation des solutions maximales, équations linéaires, résolvante, variation des constantes.

Rappel sur les nombres réels, boules ouvertes, partie bornées, voisinages parties ouvertes, points adhérents, parties fermées, parties denses, suites, sous-suites, points d'accumulation, limite, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy, espaces complets, compacts, application continues, uniformément continues, lipschitziennes, théorème élémentaire de prolongement.

Définition des normes, des espaces et algèbres de Banach. Continuité des applications linéaires. Propriétés élémentaires des algèbres de Banach. L'application exponentielle. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point.

Feuilles d'exercices conçues pour le premier semestre de L2 (analyse et algèbre).

Définition des fonctions réglées et en escalier. Définition de leur intégrale sur un intervalle. Techniques de calcul. Majorations. Intégrales généralisées. Intégrales dépendant d'un paramètre. Exercices corrigés.

Ce recueil de 12 problèmes (1 par semaine) avec solutions a été élaboré lors d'un enseignement de L3 à Paris 7. Les sujets abordés sont les suivants: (1) application exponentielle complexe, (2) espace de Sierpinski et topologie des cofinis, (3) topologie X-adique et espaces ultramétriques, (4) revêtements, (5) calcul du diamètre de quelques espaces métriques dont des exemples de grassmanniennes, (6) limites supérieures et inférieures, semi-continuité, (7) théorème de Stone-Weierstrass, (8) théorème de Baire et application aux fonctions continues non dérivables, (9) dérivée de l'application exponentielle d'une algèbre de Banach non commutative, (10) équivalence entre champs de vecteurs et dérivations de l'algèbre des fonctions, (11) gradient et surface définie comme isopotentiel, applications de Gauss et de Weingarten, (12) formes de Pfaff et lemme de Poincaré.

Mémoire réalisé par trois de mes étudiants de Licence 1, dans lequel sont démontrées les transcendances de e et pi.

L'intégrale de Riemann qu'on n'enseigne que pour des raisons pédagogiques (peut-être mauvaises) nous tend des pièges clairement antipédagogiques. On en trouve un exemple ici.