Université Denis Diderot - Paris 7
UFR de Mathématiques
Equipe de Logique Mathématique, Institut Mathématique de Jussieu, CNRS UMR 7586
Bienvenue sur la page d'Alain Prouté

Mes domaines d'intérêt sont la topologie algébrique, la théorie des catégories et des topos, la logique et l'informatique. Vous trouverez sur cette page des cours, des recueils d'exercices, des articles et des textes de conférences. Merci de m'adresser vos remarques, corrections et suggestions éventuelles.

Merci de ne pas me solliciter pour un mémoire ou une thèse. Etant à la retraite, je ne prends plus d'étudiant.

alp@math.univ-paris-diderot.fr
Algèbre
Niveaux :
  L1-L2
  L3
Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
425 KO (50 pages)

Applications bilinéaires, applications linéaires associées, espace dual, représentation matricielle, changement de base, orthogonalité, formes non dégénérées, definies, formes quadratiques, forme polaire, diagonalisation (Gauss), signature, plan artinien, plan projectif, division harmonique, coniques, poles et polaires, produits scalaires, espaces euclidiens, matrices orthogonales, endomorphisme adjoint, endomorphismes normaux, auto-adjoints et isométries, groupe orthogonal, théorèmes de Fregier et de Pascal.

Niveaux :
  L1-L2
Exercices L2 semestre 1
2606 KO (26 pages)

Feuilles d'exercices conçues pour le premier semestre de L2 (analyse et algèbre).

Niveaux :
  L1-L2
Le Déterminant
135 KO (11 pages)

Permutations, nombre d'inversions, signature d'une permutation, transpositions, espace dual, application transposée, base duale, rang de la transposée, mesure de volume (forme multilinéaire alternée), déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, mineur, cofacteur, développement par rapport aux lignes et aux colonnes, application au calcul du rang d'une matrice, formule de la comatrice, déterminant de Van der Monde.

Niveaux :
  L1-L2
Le théorème de Cayley-Hamilton
52 KO (2 pages)

Ce très court texte contient une démonstration élémentaire et aussi peu calculatoire que possible du théorème de Cayley-Hamilton.

Niveaux :
  L1-L2
P = P(X) !
104 KO (2 pages)

Un polynôme doit-il se noter P ou P(X) ? Réponse dans ce texte.

Géométrie
Niveaux :
  Tous
Quaternions et rotations dans l'espace
245 KO (4 pages)

Comment utiliser les quaternions pour déterminer l'axe et l'angle d'un produit de deux rotations d'axes non colinéaires dans l'espace à trois dimensions.

LaTeX
Niveaux :
  Tous
Slides à overlays
165 KO (9 pages)

Comment faire des slides à overlays en LaTeX sans utiliser de package spécialisé et sans faire de couper-coller. Une méthode simple et souple.

Logique et Fondations
Niveaux :
  Tous
Comment on traite la question de l'indépendance de l'hypothèse du continu et de l'axiome du choix avec la théorie des faisceaux de Grothendieck.
339 KO (4 pages)

Exposé fait au séminaire général de logique en mai 2011. Il s'agit d'un exposé assez informel. Il contient des références sur des documents plus précis.

Niveaux :
  Tous
Comment prouver qu'un compilateur est correct ?
132 KO (4 pages)

Il s'agit du problème d'examen d'un cours de Maîtrise (ancêtre du Master 1) que j'ai donné à l'université de Nantes au début des années 80. On y introduit un langage combinatoire (c'est-à-dire sans variable) qui permet de représenter toutes les fonctions primitivement récursives et une machine à pile. L'objet du problème est de montrer que le résultat des calculs par la machine est conforme à la sémantique du langage. Le langage présenté ici est assez simple pour que la preuve du fait que le compilateur est correct puisse se faire lors d'un examen de 4 heures. Pour un langage ``réel'', donc nettement plus complexe, la chose est évidemment beaucoup moins simple. Toutefois, ce problème d'examen peut servir d'``échauffement'' pour une telle entreprise au moins quand à la méthode à utiliser, c'est-à-dire essentiellement des raisonnements par induction, pas difficiles par eux-mêmes, mais parfois un peu fastidieux à cause du nombre de cas à traiter.

Niveaux :
  M1
  M2-D
Cours de Logique Catégorique
2684 KO (406 pages)

Cours de logique catégorique donné en 2008, 2009 et 2010 dans le Master 2 ``Logique mathématique et Fondements de l'Informatique''. Ce cours introduit les notions essentielles de théorie des catégories (problèmes universels, classifiants, foncteurs adjoints, monades,...) et expose les bases de la théorie des topos élémentaires, en particulier le langage interne, la sémantique de Kripke-Joyal, les topos de préfaisceaux d'ensembles, les topologies de Grothendieck et de Lawvere-Tierney, et les topos de faisceaux. Contient plus de 300 exercices dont certains sont corrigés.

Niveaux :
  M2-D
Expressions indéterminées, constructivisme et axiome du choix.
354 KO (10 pages)

Le preprint d'un article publié dans les Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques en 1992. Il contient mes (à peu près) premières réflexions autour de la question de l'indiscernabilité des preuves, dont il n'est d'ailleurs pas question dans cet article, puisqu'à cette époque, je n'avais pas encore connaissance de ce principe. Aujourd'hui, je ne soutiens plus le point de vue développé dans ce texte. Toutefois, il contient des choses qui peuvent intéresser, comme par exemple une preuve formelle du théorème de Diaconescu, et il est probablement la première publication où se trouve démontré le fait que ce théorème ne peut pas être prouvé dans le système de Martin-Löf.

Niveaux :
  Tous
Indépendance et consistance relative du tiers exclu.
216 KO (17 pages)

Ce texte, établi en collaboration avec l'un de mes étudiants, présente une démonstration élémentaire du fait que le principe du tiers exclu ne résulte pas des principes structurels (intuitionnistes) de démonstration.

Niveaux :
  Tous
Le raisonnement par l'absurde
241 KO (8 pages)

Un exposé fait en mai 2008 sur le raisonnement par l'absurde. Sans entrer dans les détails techniques, on apprend en quoi consistent les mathématiques ``structurelles'' (également appelées ``intuitionnistes'') et ce qu'est le constructivisme. On explique la différence de comportement entre connecteurs additifs et connecteurs multiplicatifs. Enfin, on explore le principe de la double négation et du raisonnement par l'absurde et on distingue deux sortes de tels raisonnements dont l'une est constructive et l'autre pas.

Niveaux :
  M2-D
Le calcul dans les topos relatifs et l'interprétation du langage W.
668 KO (35 pages)

Mémoire de Master 2 réalisé par M. Cadet sous ma direction. Dans ce mémoire, la traduction précise entre le langage interne d'un topos relatif T/X (où X est un objet de T) et le langage natif du topos T est explicitée. Dans une seconde partie, cet traduction est exploitée pour interpréter le langage W, qui est une variante ``à types dépendants'' du langage interne des topos.

Niveaux :
  M2-D
Les Topos sans les Monomorphismes
161 KO (12 pages)

On axiomatise la structure de topos élémentaire sans la notion de monomorphisme. Dans la conclusion, on explique en quoi cette axiomatisation éclaire l'usage de certaines phrases dans le langage mathématique ordinaire. Ce texte constitue par ailleurs une introduction condensée à la structure de topos élémentaire et à la sémantique de Kripke-Joyal pour ceux qui connaissent déjà un peu les catégories.

Niveaux :
  Tous
Les Topos Elémentaires via les Classifiants
175 KO (10 pages)

Un exposé ``self-contained'' fait au séminaire ``Catégories et Physique'' en avril 2008, dans lequel les topos élémentaires sont présentés en utilisant la seule notion de classifiant d'un foncteur.

Niveaux :
  Tous
Les Entiers Naturels
154 KO (12 pages)

On axiomatise la notion d'ensemble des entiers naturels à l'aide du principe de récursion simple (inspiré par les travaux de W. Lawvere), on en déduit le principe de récursion primitive, et les axiomes de Peano (dont le principe usuel du raisonnement par récurrence). On développe l'arithmétique dans N, à partir de cette définition (addition, multiplication, division euclidienne,...). Application aux ensembles finis et aux cardinaux. On démontre aussi l'axiome des choix dépendants à partir de l'axiome général du choix, et du principe de récursion simple.

Niveaux :
  Tous
On the dependent conjunction and implication.
400 KO (18 pages)

Dans cet article écrit en collaboration avec mon étudiant Matthieu Herrmann, nous donnons une explication des conjonctions 'E et F' et implications 'E implique F', dans lesquelles l'énoncé F n'est correctement formulé que quand E est vrai. Cette situation est très courante en mathématiques, même élémentaires. L'idée est que ces opérations jouent par rapport à la notion de supposition le même rôle que les quantificateurs par rapport à celle de déclaration. Nous expliquons également, et c'est là notre principale motivation, le lien entre ce phénomène, deux principes fondamentaux des mathématiques, et le langage vernaculaire des mathématiques.

Niveaux :
  M2-D
Pourquoi les topologies de Grothendieck intéressent-elles les logiciens ?
540 KO (18 pages)

Exposé fait au séminaire Keller-Maltsiniotis sur la démonstration de Miles Tierney de l'indépendance de l'hypothèse du continu dans le cadre de la théorie des topos.

Niveaux :
  M2-D
Problèmes de théorie des catégories et de théorie des topos.
738 KO (52 pages)

Les problèmes de partiels et d'examens donnés pendant les trois années de mon cours de logique catégorique (avec solutions).

Niveaux :
  L3
  M1
Quelques conséquences de l'axiome du choix.
260 KO (11 pages)

Contient une démonstration des théorèmes de Zorn et de Zermelo, et de quelques unes de leurs conséquences les plus utilisées en algèbre et en topologie générale.

Niveaux :
  Tous
Sur la correction automatique des exercices de mathématiques
290 KO (6 pages)

J'explore la question de savoir en quoi consiste un exercice de mathématiques, et comment en faire la correction de manière automatique dans le cadre d'un MOOC.

Niveaux :
  M2-D
Topos de préfaisceaux d'ensembles
186 KO (40 pages)

Ensemble de slides utilisé lors d'un cours sur les topos pour montrer que toute catégorie de préfaisceaux d'ensembles sur une petite catégorie est un topos.

Niveaux :
  Tous
Topos et Démonstrations
473 KO (32 pages)

Dans cet exposé fait à Luminy en mai 2007, est essentiellement discutée la notion d'indiscernabilité des preuves. Des arguments sont donnés en faveur de ce principe, aussi bien provenant de l'analyse du comportement des mathématiciens, que d'une modélisation des mathématiques dans les topos. On y parle également du système de types de Martin-Löf et de ses rapports avec le théorème de Diaconescu. Le caractère partiellement constructif de l'axiome du choix est aussi discuté.

Niveaux :
  Tous
What does it mean to do mathematics within a topos ?
436 KO (6 pages)

L'objet de ce texte est d'expliquer quelques particularités et pièges de l'interprétation des énoncés mathématiques prouvés ``dans'' un topos (i.e. de manière interne), comme propriétés (externes) de ce topos. Cette interprétation se fait via la sémantique de Kripke-Joyal, et à cause du fait que les énoncés dont la racine est un connecteur additif (``ou'' et ``il existe'') ont des sémantiques non triviales, la signification externe de ce qu'on prouve ``dans'' un topos ne correspond pas toujours à ce qu'on pourrait attendre. Certains pièges sont assez subtils.

Topologie Algébrique
Niveaux :
  M2-D
A-infini structures
523 KO (99 pages)

Ce texte est la partie principale de ma thèse d'état soutenue en 1986. C'est une étude de l'homologie des fibrations principales de fibre K(Z/p,n), utilisant les notions de A-infini algèbres et coalgèbres. On y trouvera une présentation de la méthode des petites constructions de Cartan pour le calcul de l'holomogie de K(Z/p,n), une théorie homotopique des cochaînes de Brown, une construction des modèles minimaux de Baues-Lemaire et Kadeishvili, et les premiers pas d'une identification des petites constructions de Cartan à des A-infini produits tensoriels tordus.

Niveaux :
  M2-D
Brown's natural twisting cochain and the Eilenberg-Mac Lane transformation
295 KO (8 pages)

Dans cet article écrit en collaboration avec mon étudiant F. Morace, on construit une cochaîne de Brown (cochaine tordante) qui commute avec la transformation d'Eilenberg-Mac Lane.

Niveaux :
  M1
  M2-D
Catégories pour la topologie algebrique
622 KO (57 pages)

Notes de cours.

Niveaux :
  M2-D
Church-Rosser property and Homology of Monoids
266 KO (30 pages)

Ce texte écrit en collaboration avec Yves Lafont est une introduction à la réécriture dans les monoïdes et à l'homologie des monoïdes. On y démontre le théorème de Squier, qui énonce que le rang du troisième groupe d'homologie d'un monoïde minore le nombre de paires critiques dans n'importe quelle présentation du monoïde par un système de réécriture confluent et noethérien.

Niveaux :
  M2-D
Classe d'Euler rationnelle des sous-groupes résolubles de GL(2n,R)
189 KO (2 pages)

Dans cette note aux C.R.A.S. on montre qu'une variété plate (non riemannienne; la connexion peut donc avoir de la torsion) compacte sans bord dont le groupe fondamental est résoluble a une caractéristique d'Euler nulle.

Niveaux :
  M2-D
Classes Caractéristiques
158 KO (12 pages)

Fibrés localement triviaux, fibrés induits et invariance homotopique, grassmannienne et fibrés universels, application de Gauss, théorème de Leray-Hirsch, classe de Thom, classe d'Euler, suite de Gysin, algèbre de cohomologie de l'espace projectif, le fibré projectif associé, le principe de scindement, algèbre de cohomologie de la grassmannienne infinie, classes caractéristiques.

Niveaux :
  M1
Cours de Topologie Algébrique
3913 KO (228 pages)

Cours de Topologie Algébrique donné au printemps 2012 dans le Master 1 de mathématiques de Paris-Diderot. Ce cours traite de quelques questions de théorie des catégories, de groupoïdes fondamentaux, de revêtements, d'homologie et de cohomologie singulières.

Niveaux :
  M1
  M2-D
Et pourquoi pas la cohomologie d'Alexander ?
389 KO (15 pages)

Ce court texte à visée pédagogique introduit la cohomologie d'Alexander en insistant sur les aspects intuitifs. Il contient une démonstration du fait que cette théorie satisfait les axiomes d'Eilenberg-Steenrod.

Niveaux :
  M2-D
Problèmes de Topologie Algébrique
617 KO (82 pages)

Les problèmes de topologie algébrique donnés aux examens de mes cours du Master 1 des années 2012 à 2015. (14 problèmes avec solutions)

Niveaux :
  M2-D
Sur la diagonale d'Alexander-Whitney
231 KO (2 pages)

Dans cette note aux C.R.A.S. on caractérise la diagonale d'Alexander-Whitney par une propriété de son image. Ceci permet de prouver sans calcul que la transformation d'Eilenberg-Mac Lane est un morphisme de coalgèbres.

Niveaux :
  M2-D
Sur la transformation d'Eilenberg-Mac Lane
226 KO (2 pages)

Cette note aux C.R.A.S. caractérise la transformation naturelle d'Eilenberg-Mac Lane d'une manière très simple, ce qui permet d'établir très facilement ses principales propriétés, et donc d'éviter les nombreuses pages de calculs qu'on trouve habituellement concernant cette transformation.

Niveaux :
  M1
  M2-D
Topologie générale pour la topologie algebrique
367 KO (18 pages)

Notes de cours.

Niveaux :
  M2-D
Un contre-exemple à la géométricité du shuffle-coproduit de la cobar-construction
463 KO (4 pages)

Dans cette note aux C.R.A.S. il est montré que même si la coalgèbre d'homologie (à coefficients dans un corps) d'un espace X est quasi-isomorphe à la coalgèbre des chaînes singulières de X, il se peut que la cobar-construction sur cette homologie, vue comme une coalgèbre avec le shuffle-coproduit, ne soit pas quasi-isomorphe à la coalgèbre des cochaînes de l'espace des lacets de X.

Topologie et Analyse
Niveaux :
  L1-L2
  L3
Calcul Différentiel
410 KO (46 pages)

Dérivée d'une fonction définie sur un ouvert de Rn. Exemples. Dérivation des fonctions composées. Matrice jacobienne. Dérivées partielles. Théorème de la moyenne. Convergence des dérivées d'une suite de fonctions. Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Taylor. Théorème de Schwarz. Extrémas des fonctions deux fois dérivables. Difféomorphismes et théorème d'inversion locale.

Niveaux :
  L1-L2
  L3
Equations Différentielles
267 KO (27 pages)

Définition, solutions, différentiabilité des solutions, systèmes différentiels, équations autonomes, équations d'ordre supérieur, conditions initiales et solutions non prolongeables, interprétation géométrique, démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz, exemples tirés de la physique, méthodes de résolution, comparaison des solutions, caractérisation des solutions maximales, équations linéaires, résolvante, variation des constantes.

Niveaux :
  L1-L2
Espaces Métriques
220 KO (16 pages)

Rappel sur les nombres réels, boules ouvertes, partie bornées, voisinages parties ouvertes, points adhérents, parties fermées, parties denses, suites, sous-suites, points d'accumulation, limite, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy, espaces complets, compacts, application continues, uniformément continues, lipschitziennes, théorème élémentaire de prolongement.

Niveaux :
  L1-L2
Espaces Normés et Algèbres de Banach
306 KO (11 pages)

Définition des normes, des espaces et algèbres de Banach. Continuité des applications linéaires. Propriétés élémentaires des algèbres de Banach. L'application exponentielle. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point.

Niveaux :
  L1-L2
Exercices L2 semestre 1
2606 KO (26 pages)

Feuilles d'exercices conçues pour le premier semestre de L2 (analyse et algèbre).

Niveaux :
  L1-L2
L'Intégrale Simple
324 KO (33 pages)

Définition des fonctions réglées et en escalier. Définition de leur intégrale sur un intervalle. Techniques de calcul. Majorations. Intégrales généralisées. Intégrales dépendant d'un paramètre. Exercices corrigés.

Niveaux :
  L3
  M1
Problèmes de Topologie et Calcul Différentiel
497 KO (38 pages)

Ce recueil de 12 problèmes (1 par semaine) avec solutions a été élaboré lors d'un enseignement de L3 à Paris 7. Les sujets abordés sont les suivants: (1) application exponentielle complexe, (2) espace de Sierpinski et topologie des cofinis, (3) topologie X-adique et espaces ultramétriques, (4) revêtements, (5) calcul du diamètre de quelques espaces métriques dont des exemples de grassmanniennes, (6) limites supérieures et inférieures, semi-continuité, (7) théorème de Stone-Weierstrass, (8) théorème de Baire et application aux fonctions continues non dérivables, (9) dérivée de l'application exponentielle d'une algèbre de Banach non commutative, (10) équivalence entre champs de vecteurs et dérivations de l'algèbre des fonctions, (11) gradient et surface définie comme isopotentiel, applications de Gauss et de Weingarten, (12) formes de Pfaff et lemme de Poincaré.

Niveaux :
  Tous
Transcendance de e et pi pour les nuls
132 KO (13 pages)

Mémoire réalisé par trois de mes étudiants de Licence 1, dans lequel sont démontrées les transcendances de e et pi.

Niveaux :
  Tous
Une remarque à propos d'un exemple répandu de dérivée non intégrable
150 KO (1 page)

L'intégrale de Riemann qu'on n'enseigne que pour des raisons pédagogiques (peut-être mauvaises) nous tend des pièges clairement antipédagogiques. On en trouve un exemple ici.

Sans rapport avec les mathémtiques : Les mémoires de mon grand-père. Ce petit livre écrit en 1980, juste avant son décès, raconte sa passion pour la gravure, contient une galerie de personnages pittoresques, et des anecdotes sur la vie à Paris au tout début du vingtième siècle.
Partie 1 (6,4 MO)Partie 2 (5,8 MO)(Format DJVU)