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Théorie des modèles - outils classiques

M2 LMFI 2017-18


Einsegnant : Tamara Servi

Horaires :
Lundi 8h45 - 10h35 (bâtiment Sophie Germain, salle 2012)
Mardi 8h40 - 10h30 (
bâtiment Sophie Germain, salle 2018)

Actualités :
 
  • Premier cours : lundi 08/01/2018
  • Examen partiel : mardi 27/02/2018 à 8h40, salle 2018
  • Cours supplémentaire : mercredi 21/03/2018 à 13h30, salle 1011
            
  • Dernier cours : lundi 26/03/2018
  • Examen final : lundi 09/04/2018 à 8h15, salle 1005

Programme

Semaine 1 08-09/01 Présentation du cours. Rappels et notations. Types.
Semaine 2 15-16/01 Types dans DLO et ACF_0. Corps réels clos. La théorie RCF élimine les quantificateurs et est complète.
Semaine 3 22-23/01 Types dans RCF. Structures k-homogènes et fortement k-homogènes. Exemples et contre-exemples (germes exponentiels). Relation entre homogéneité et saturation.
Semaine 4 29-30/01 Universalité et unicité des modèles saturés. Existence de modèles k-saturés et fortement k-homogènes. Application à la clôture définissable et à la clôture algébrique modèle-théorique. Modèles qui réalisent peu de types.
Semaine 5 05-06/02 Extensions constuctibles, premières, atomiques : conditions d'existence, théorème d'unicité de Ressayre, rapports entre ces notions dans le cas d'un langage dénombrable et dans le cas d'un langage non-dénombrable. Exemples de théories avec et sans extensions premières.
Semaine 6 12-13/02 Théorie des arbres binaires. Théories petites et arbres binaires de formules, existence de modèles premiers. Théories k-stables et totalement transcendantes, existence des extensions premières. Exemples de théories petites mais pas omega-stables, superstables mais pas omega-stables. Théorème de Lachlan et existence de modèles saturés dans les théories omega-stables.
Semaine 7 19-20/02 Modèles dénombrables : liens entre nombre de types de la théorie et nombre de modèles dénombrables ; théories omega-catégoriques ; théories avec un nombre fini de modèles dénombrables ; conjecture de Vaught. Modèles non dénombrables : DLO a le nombre maximal de modèles de taille k pour tou k non dénombrable ; DLO est instable ; théorème de Ramsey infini.
Semaine 8 26-27/02 Une autre preuve de l'instabilité de DLO (existence d'ordres denses de cardinalité >k avec un sous-ensemble dense de cardinalité k). Suites indiscernables et totalement indiscernables. Type de Ehrenfeucht-Mostowski, Lemme Standard. Fonctions de Skolem.
Semaine 9 05-06/03 Skolemisation d'une théorie, modèles engendrés par une suite indiscernable. Fonctions de Skolem définissables (le cas de RCF). Instabilité des théories avec la propriété de l'ordre. Dans une théorie stable toute suite indiscernable et totalement indiscernable. Skolemisations de la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0. Paires de Vaught.
Semaine 10 12-13/03 Théorème des deux cardinaux de Vaught. Théories uniformement bornées. Une théorie complète dénombrable k-catégorique (k>omega) est omega-stable et n'a pas de paires de Vaught. Prégéométries et notions de dimension.
Semaine 11 19-20-21/03 Types algébriques. Ensembles fortement minimaux. Théories fortement minimales : catégorcité, caractérisation des modèles par leur dimension, modèles saturés et modèles homogènes, exemples. Théorème de Baldwin-Lachlan : une théorie T complète dénombrable est k-catégorique (k>omega) ssi T est omega-stable et n'a pas de paires de Vaught. Discussion sur le nombre de modèles dénombrables de T. Exemples de théories T comme ci-dessus qui ne sont pas fortement minimales. Structures o-minimales. Théorème de monotonicité.
Semaine 12 26/03


Documents

DM à rendre le 19/02

Bibliographie

  • D. Marker, Model Theory: an introduction, Springer-Verlag 2002.
  • K. Tent, M. Ziegler, A Course in Model Theory, CUP 2012.







Dernière mise à jour : 23/03/2018