Géométrie et Théorie des Modèles


Organisateurs : Zoé Chatzidakis, Raf Cluckers.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : zchatzid_at_dma.ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Ces personnes peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.


PROCHAINE SEANCE

Vendredi 19 mai, ENS, salle W. Orateurs prévus :

11h : Chris Miller (Ohio State), Beyond o-minimality, and why
O-minimal structures on the real field have many desirable properties. As examples:
    (a) Hausdorff (and even packing) dimension agrees with topological dimension on locally closed definable sets.
    (b) Locally closed definable sets have few rational points (in the sense of the Pila-Wilkie Theorem).
    (c) For each positive integer p, every closed definable set is the zero set of a definable C^p function.
    (d) Connected components of definable sets are definable.
But to what extent is o-minimality necessary for these properties to hold? I will discuss this question, and illustrate via examples as to why one might care about answers.

14h15 : Ayhan Günaydin (Bogazici), Tame Expansions of o-minimal Structures
Expanding a model theoretically “tame” structure in a way that it stays “tame” has been a theme in the recent years. In the first part of this talk, we present a history of work done in that frame. Then we focus on the case of expansions of o-minimal structures by a unary predicate. There is a dividing line according to whether the predicate is dense or discrete; even though the results obtained are similar, there is an enormous difference in the techniques used. We shall present some of the results obtained in the dense case. Starting from a set of abstract axioms, we obtain a decomposition theorem for definable sets and a local structure theorem for definable groups.
The abstract axioms mentioned above are “smallness”, “o-minimal open core” and “quantifier elimination up to existential formulas”. We shall illustrate a proof of the fact that the first two imply “quantifier elimination up to bounded formulas”, which is a weak form of the last axiom and we give reasons why it is really weaker than that axiom.
(Joint work with P. Eleftheriou and P. Hieronymi)

16h : George Comte (Chambéry), Zéros et points rationnels des fonctions analytiques ou oscillant.
Compter les points rationnels de hauteur bornée dans le graphe d'une fonction, ou plus généralement d'une courbe (plane), se ramène à estimer le nombre Z_d de points d'intersection de cette courbe avec un ensemble algébrique de degré d donné. J'expliquerai
     - d'une part comment on peut produire des familles de fonctions analytiques sur [0,1] telle que Z_d est polynomialement borné en d, et comment une telle borne assure que le graphe d'une telle fonction recèle moins de logα(T) points rationnels de hauteur < T,
     - d'autre part comment on peut traiter le cas de certaines courbes oscillant (ie non o-minimales) pour obtenir encore une borne du type logα(T).
Il s'agit de travaux en commun avec Y. Yomdin d'une part et C. Miller d'autre part.


SEANCE SUIVANTE

Le séminaire reprendra ses activité à l'automne. Dates prévues : 13 octobre, 17 novembre et 15 décembre.


Adresses des lieux de rencontre

  • Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris (RER : Luxembourg) Plan d'accès.
    Amphithéâtre Rataud ou Galois. Il est situé dans le nouveau bâtiment, au niveau -1 : traverser ou contourner le bâtiment principal de l'ENS ; l'entrée est à droite de l'entrée principale du nouveau bâtiment ; pour ouvrir la porte vitrée il faut appuyer sur le bouton ; descendre l'escalier, la salle est devant vous sur la gauche.
    Salle Henri Cartan. Contourner le bâtiment principal sur la droite, pour entrer dans l'ancien bâtiment de la bibliothèque de mathématiques (voir photo), et descendre au niveau -2, dans le couloir Rouge.
    Salle R. Contourner le bâtiment principal sur la droite, pour entrer dans l'ancien bâtiment de la bibliothèque de mathématiques (voir photo), et descendre au niveau -2, dans le couloir Rouge.
    Salle W. Entrer dans le bâtiment principal, suivre le couloir de droite jusqu'à l'escalier B dans le coin sud-est ; monter au 3ème (= dernier) étage par l'escalier principal, puis prendre le couloir en face de vous, au bout du couloir tourner à droite et monter encore un étage. La salle W se trouve sur votre gauche.
  • Institut Henri Poincaré (IHP), 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris (RER : Luxembourg). Plan d'accès.
  • Bâtiment Sophie Germain, angle de l'avenue de France et de la rue Alice Domon et Léonie Duquet, 75013 Paris (Tramway 3a : Porte de France ; Bus 27 : Regnault, puis prendre le Boulevard Massena ; RER C et ligne 14 : Bibliothèque François Mitterrand). Plan d'accès.
  • How to get there


    Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11, 2011-12, 2012-13, 2013-14, 2014-15, 2015-16, 2016-17.


    Ce séminaire participe à l'ACM