Géométrie et Théorie des Modèles

Année 2011 - 2012


Organisateurs : Zoé Chatzidakis et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : zoe_at_logique.jussieu.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Elles peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.


Vendredi 7 octobre 2011, Amphithéâtre Rataud. Orateurs :

11h : Antongiulio Fornasiero (Münster), Restrained structures
We study first-order expansions of the real field that are restrained, i.e. that do not define the set of natural numbers. Being restrained is equivalent to several other notions of tameness.
In particular: in a restrained structure, all reasonable notions of dimension (topological, Hausdorff, Minkowski, ...) coincide for unary closed definable sets (we also have partial results for non-unary sets); moreover, any continuous definable function is differentiable almost everywhere.
Similar results hold also in definably complete structures outside the real line.
Joint work with P. Hieromymi and C. Miller.
Notes de l'exposé.

14h : Ilia Itenberg (Paris 6) Introduction à l'homologie tropicale
Dans cet exposé, on présentera plusieurs notions fondamentales de la géométrie tropicale et on s'intéressera tout particulièrement aux groupes d'homologie dans le cadre tropical. Sous certaines conditions, une variété tropicale peut être approximée par une famille à un paramètre de variétés complexes, et des caractéristiques importantes des variétés de cette famille peuvent être exprimées en termes des groupes d'homologie tropicaux de la variété tropicale considérée (travail en commun avec L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov).

16h : Mickaël Matusinski (Bordeaux), Les nombres surréels comme corps de transséries - séries exp-log.
J. Conway a introduit dans son livre “On numbers and games” la classe propre des nombres surréels et l'a munie de remarquables propriétés algébriques : il s'agit d'un corps réel clos, avec qui plus est une structure de séries généralisées, contenant à la fois le corps des nombres réels et la classe propre des ordinaux. Par la suite, H. Gonshor a muni ces nombres surréels d'une exponentielle totale (et donc d'un logarithme), ce qui en fait un modèle de la théorie des réels avec l'exponentielle ainsi que l'on exprimé L. van den Dries et P. Ehrlich. Notre travail en cours consiste à montrer que les nombres surréels constituent en fait un corps de séries exp-log (au sens de S. Kuhlmann) et de transséries (au sens de J. van der Hoeven). Cela nous permettrait d'utiliser nos résultats concernant la structure différentielle de ces corps, afin de munir les nombres surréels d'une dérivation naturelle.
Après un survol des définitions et résultats classiques concernant les nombres surréels, nous présenterons notre premier résultat : la description des représentants de ce que nous appelons les classes d'équivalences exponentielles des nombres surréels. Ces représentants viennent s'intercaler naturellement entre les notions d'exponentiation de base omega et d'epsilon nombres généralisés dus à Conway et Gonshor.
Travail en commun avec S. Kuhlmann et J. van der Hoeven.


Vendredi 4 novembre 2011, ENS, amphithéatre Rataud. Orateurs :

11h : Pierre Simon (Orsay - ENS), Théorème de Szemerédi et structures profinies.
Le théorème de Szemeredi dit que dans tout sous-ensemble de densité strictement positive des entiers naturels, on peut trouver des suites arithmétiques arbitrairement longues. Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. Je présenterai une preuve récente, légèrement modèle-théorique, de Towsner (fortement inspirée d'une démonstration de Tao). Le point de départ consiste à remarquer qu'un ultraproduit de structures finies est naturellement muni d'une mesure et à étudier les propriétés de celle-ci. Je montrerai aussi le lien avec d'autres résultats de combinatoire finie tel le lemme de régularité de Szemeredi.

14h : Michael Singer (North Carolina SU) Inverse problems in the Parameterized Picard-Vessiot Theory.
The parameterized Picard-Vessiot theory aims at studying the differential behavior of solutions of parameterized linear differential equations. It associates to such an equation a linear differential algebraic group (LDAG), that is, a group of matrices whose entries are functions satisfying a fixed set of differential equations. After giving an introduction to this theory, I will show that not all LDAGs can occur as Galois groups over k(x), the field of rational functions in x whose coefficients are functions of a parameter t and characterize those LDAGs that do occur.

16h : Yves André (ENS), Algèbre différentielle et géométrie des orbites. Une nouvelle correspondance galoisienne.
La théorie classique de Picard-Vessiot fournit une correspondance galoisienne pour les extensions de corps différentiels.
Nous présenterons une correspondance plus fine, sous forme d'une anti-équivalence de catégories entre algèbres de solutions associées à une équation différentielle linéaire (algèbres différentielles engendrées par un nombre fini de polynômes en les solutions fondamentales de l'équation) et variétés affines quasi-homogènes sous l'action du groupe de Galois différentiel. Une telle correspondance joue aussi dans le contexte plus général des connexions (intégrables ou non). Nous évoquerons le parti que cette correspondance permet de tirer, en algèbre différentielle, de la riche théorie des variétés quasi-homogènes.


Vendredi 16 décembre 2011, ENS, amphithéatre Rataud. Orateurs prévus :

11h : Alex Wilkie (Manchester), Progress on the quasi-minimality problem for the complex exponential field
I shall state my analytic continuation conjecture (ACC) for functions implicitly defined by quasi-polynomials and indicate why it implies a positive solution to Zilber's quasi-minimality conjecture for sets definable in the complex exponential field. I shall then report on progress on ACC itself.

14h : Philipp Habegger (Frankfurt), Relative Manin-Mumford in the Weierstrass Family and Beyond André-Oort
Definable sets in o-minimal structures play an important role in the proof of recent results surrounding unlikely intersections. These results provide evidence for a vast conjecture, sometimes the called the Zilber-Pink Conjecture or CIT. It generalizes classical conjectures such as those of Manin-Mumford or André-Oort.
Zannier proposed a strategy, based on a counting result of Pila and Wilkie, to attack the (relative) Manin-Mumford Conjecture. Pila used a generalization of the counting result to attack André-Oort.
I will report on progress towards two separate cases of the aforementioned general conjecture. The first is finiteness statement towards the relative Manin-Mumford Conjecture for a surface: there are only finitely many complex pairs (a,b) such that y^2=x^3+ax+b is an elliptic curve and (1,(1+a+b)^(1/2)), (2,(8+2a+b)^(1/2)), (3,(27+3a+b)^(1/2)) are all torsion. Masser and Zannier proved a 1-dimensional version in the Legendre family of elliptic curves. The second result is in collaboration with Jonathan Pila and generalizes the André-Oort Conjecture for certain curves in a product of modular curves. Our talks on this matter will complement each other. In addition to the use of o-minimal structures, both results rely on the theory of heights.

16h : Jonathan Pila (Oxford), On unlikely intersections of certain curves in C^n
This talk is linked to the talk by Philipp Habegger. After a brief recap of o-minimality and the counting theorem I will describe how the strategy of applying it to Diophantine problems plays out for the problem of unlikely intersections of a curve in the Shimura variety C^n, connecting with key ingredients (Galois lower bounds and Ax-type statements) from Philipp's talk.


Vendredi 27 janvier 2012, ENS, amphithéatre Rataud. Programme et horaire :

11h : Jakob Stix (Heidelberg), On the p-adic section conjecture
The section conjecture of Grothendieck suggests that a section of the fundamental group extension of a proper hyperbolic curve over a number field k necessarily comes from a k-rational point. In valuation theoretic terms, this can be reformulated and simultaneously extended to affine hyperbolic curves U/k by saying that the image of a section must be contained in the decomposition subgroup of a k-rational place of the Galoisgroup of the maximal extension of the function field that is unramified over U.
If we replace the number field by a p-adic field, then the valuation theoretic analogue suggests a natural extension to more complicated valuations of the function field, or, with a more geometric viewpoint to certain Berkovich points of the p-adic curve. This analogue is now known due to joint work with Florian Pop and the talk aims to survey this result.

14h : Amador Martin-Pizarro (Lyon I), On variants of CM-triviality
In 2003, Pillay and Ziegler reproved the function field case of Mordell-Lang in all characteristics inspired by Hrushovski's original proof but avoiding the use of the so-called Zariski Geometries. Instead, motivated on Campana's work on algebraic coreductions, they showed that given an (irreducible) definable set X of bounded differential degree in a universal differential closed field, the field of definition of the constructible set determined by X can be understood (i.e. it is internal) over a generic realisation of X in terms of a finite set of elements coming from the constant field. In model-theoretical terms, DCF_0 has the CBP for types of finite Morley rank with respect to the type of the constants. The CBP is a generalisation of 1-basedness, which has many structural consequences for the definability of groups and fields, in particular, every definable group in a 1-based theory is virtualy abelian.
Another possible generalisation of 1-basedness is called CM-triviality, which prohibits the existence of a particular point-line-plane configuration, present in Euclidean Geometry. In particular, a CM-trivial theory has no infinite definable fields and in the finite rank context, all definable groups are virtually nilpotent.
We will present an overview of the aforementioned concepts, aimed to a general audience, without assuming a strong model theoretical background, and present some variants of CM-triviality and discuss definability of fields and groups in this context.

16h : Jean-Marie Lion (Rennes), Théorème du complémentaire pour les sous-pfaffiens emboîtés
Soit A une structure o-minimale qui admet la propriété de stratification analytique: tout élément de A est la réunion d'un nombre fini de sous-variétés analytiques définissables dans A. Un sous-ensemble V de R^n est un pfaffien emboîté associé A si c'est une sous-variété analytique connexe qui est définissable dans A ou s'il existe un pfaffien emboîté (associé A) V' et une 1-forme différentielle analytique ω définissable dans A tels que V\subset V', V sépare V' en deux composantes connexes et c'est la feuille d'un feuilletage de codimension un induit par ω sur V'. On déduit de résultats de Khovanskii et de Wilkie que les pfaffiens emboîtés associés A engendrent une structure o-minimale P(A). On explique dans l'exposé pourquoi tout élément de P(A) est la projection d'une combinaison booléenne d'éléments de A et de pfaffiens emboîtés associés à A (travail en commun avec Patrick Speissegger).


Vendredi 6 avril 2012, ENS, salle W. Orateurs prévus :

11h : Artem Chernikov (Lyon I), Generalizations of stability and NTP2
In his work on classification, Shelah had developed a number of tools for analyzing models of stable first-order theories, with the so-called forking calculus as one of the essential ingredients. Later on in the work of Hrushovski, Kim and Pillay it was demonstrated that forking calculus can be generalized to the class of simple theories (with pseudo-finite fields and certain difference fields as typical examples). More recently it was realized that forking remains an important tool in the study of NIP theories (examples are o-minimal theories, algebraically closed valued fields and p-adics). Early on Shelah had defined a class of theories containing both simple and NIP theories, called NTP2 (No Tree Property of the 2nd kind). In the recent work with Itay Kaplan, and then with Itai Ben Yaacov, I had demonstrated that a large part of the forking calculus can be generalized to the class of NTP2 theories. Apart from the pure model theory reasons, understanding the structure of NTP2 theories is motivated by particular examples such as power series over pseudo-finite fields (e.g. the ultraproduct of p-adics) and certain valued difference fields. In particular, NTP2 appears to be the right context for developing simple domination (generalizing the machinery of stable domination of Haskell, Hrushovski and Macpherson used in for the analysis of algebraically closed valued fields).
Transparents.

14h : George Comte (Chambéry) Fibres de Milnor motiviques en géométrie semi-algébrique réelle.
J'expliquerai un travail en commun avec Goulwen Fichou, qui consiste à mettre en place un anneau de Grothendieck K_0(BSA_R) des formules semi-algébriques grâce auquel on peut définir, sur le modèle complexe, des fonctions zêta motiviques de singularités réelles. On montre que ces fonctions zêtas sont rationnelles et que leur expression rationnelle définit des fibres de Milnor motiviques des singularités réelles. Il s'agit d'éléments de l'anneau K_0(BSA_R)\otimes Z[1/2] dont on montre qu'ils se réalisent, via le morphisme caractéristique d'Euler, sur la caractéristique d'Euler des fibres de Milnor ensemblistes correspondantes.

16h : Raf Cluckers (Lille/Leuven), Motivic Lipschitz continuity
In a general set-up for non-archimedean geometry, we show how local Lipschitz continuity implies piecewise Lipschitz continuity (globally on the whole piece) for definable functions. This is joint work with G. Comte and F. Loeser which generalizes previous work by the same three authors for a fixed p-adic field in [GAFA, 2010] and which fits in a broader program at the interplay of arithmetic and non-archimedean geometry.


Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11.
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